扰动晶格交叉与海棉堡唯一性配对

本文聚焦于 H. Hedenmalm 和 A. Montes-Rodr\'iguez 在扰动晶格交叉（perturbed lattice crosses）问题上提出的两个问题。第一个问题涉及对 $\beta>0$ 的完全表征，当给定 $\theta \in \mathbb{R}$ 时，平移晶格交叉 $\Lambda_{\beta}^{\theta} = ((\mathbb{Z} + \{\theta\}) \times \{0\}) \cup (\{0\} \times \beta \mathbb{Z})$ 使得 $(\Gamma,\Lambda_{\beta}^{\theta})$ 为海棉堡唯一性配对（Heisenberg Uniqueness Pair），其中 $\Gamma$ 是以坐标轴为渐近线的双曲线。在我们证明 $(\Gamma,\Lambda_{\beta}^{\theta})$ 为 Heisenberg 唯一性配对当且仅当 $\beta \le 1$，这确认了 Hedenmalm 和 Montes-Rodr\'iguez 的预测。此外，在对所考虑测度施加修改的衰减条件下，我们能够证明扰动晶格交叉 $\Lambda_{\bf A,B}$ 使得 $(\Gamma,\Lambda_{\bf A,B})$ 为 Heisenberg 唯一性配对的尖锐结果。特别是在这种衰减条件下，这解决了 Hedenmalm 和 Montes-Rodr\'iguez 提出的另一个问题。我们的技术方法通过分析将 $L^1$ 函数 $\psi$ 的傅里叶变换映射到 $t^{-2} \psi(1/t)$ 的傅里叶变换的算子。在其他 words，我们分析将 Klein-Gordon 方程解 $u$ 在 $x$ 轴上的限制映射到其在 $y$ 轴上的限制的算子。这一算子与四维傅里叶变换作用于径向函数的作用密切相关，这使我们能够使用离散不确定性原理的框架和技术。