基于 Beurling 极小外推的超分辨率

令 $M(\mathbb{T}^d)$ 为定义在 $d$ 维环面群 $(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^d=\mathbb{T}^d$ 上的复有界 Radon 测度空间，赋予全变差范数 $\|\cdot\|$；并令 $\hat\mu$ 表示 $\mu\in M(\mathbb{T}^d)$ 的傅里叶变换。我们处理超分辨率问题：对于定义在有限集 $\Lambda\subset\mathbb{Z}^d$ 上的给定谱（傅里叶变换）数据，确定是否存在唯一的极小范数 $\mu\in M(\mathbb{T}^d)$ 使得 $\hat\mu$ 在 $\Lambda$ 上等于该数据。在没有关于 $\mu$ 和 $\Lambda$ 的额外假设下，我们的主定理表明，超分辨率问题的解（我们称之为极小外推）关键依赖于由 $\mu$ 和 $\Lambda$ 定义的集合 $\Gamma\subset\Lambda$。例如，当 $\Gamma=0$ 时，极小外推是支撑在解析函数零点集上的奇异测度；当 $\Gamma\geq 2$ 时，极小外推是支撑在 $\Gamma\choose 2$ 个超平面交集上的奇异测度。通过理论和例子，我们表明 $\Gamma=1$ 的情况不同于其他情况，并且与正极小外推的存在性深度相关。该定理对于从 $\Lambda$ 唯一恢复 $\mu$ 的可能性与不可能性有意义。我们通过计算相关的解析例子，说明了如何将我们的理论应用于两个方向。这些例子在超分辨率和确定性压缩感知中均有意义。我们的可容许范围概念从根本上将 Beurling 的极小外推理论与 Candes 和 Fernandez-Granda 关于超分辨率的工作联系起来。利用这一联系来处理当前算法无法计算超分辨率问题数值解的情况。