内函数系的完备性

对于两个内函数 $\vartheta,\varphi\in H^\infty$，我们给出了系统 $\vartheta^m,\; \varphi^n$，$m,n\in\mathbb{Z}$ 在 $L^\infty(\mathbb{T})$ 的弱-$^*$ 拓扑中完备的一个简单充分条件。确切地说，我们证明只要单位圆 $\mathbb{T}$ 上存在一段弧 $I$，使得 $\vartheta$ 在 $I$ 上单叶且 $\varphi$ 在 $\mathbb{T}\setminus I$ 上单叶，该系统就是完备的。作为该结果的应用，我们描述了一类解析曲线 $\Gamma$，使得 $(\Gamma, \mathcal{X})$ 成为 Heisenberg 唯一性对，其中 $\mathcal{X}$ 是格十字 $\{(m,n)\in\mathbb{Z}^2:\, mn=0\}$。我们的主要结果推广了 Hedenmalm 和 Montes-Rodríguez 关于具有一个奇点的原子内函数的定理。