柯西积分、分数 Sobolev 空间与弦弦曲线

设 $\Gamma$ 为一闭合 Jordan 曲线，其两个互补区域分别为 $\Omega_i$ 和 $\Omega_e$。对于 $s\in(0,1)$，我们定义 $\mathcal{H}^s(\Gamma)$ 为满足以下条件的函数集合 $f:\Gamma\to \mathbb C$：其在 $\Omega_i\cup\Omega_e$ 中的调和延拓记为 $u$，且满足 $$\iint_{\Omega_i\cup\Omega_e} |\nabla u(z)|^2 d(z,\Gamma)^{1-2s} dxdy<+\infty.$$ 若 $\Gamma$ 进一步假设为可测曲线，则定义 $H^s(\Gamma)$ 为满足以下条件的可测函数空间 $f:\Gamma\to \mathbb C$：$$\iint_{\Gamma\times\Gamma}\frac{|f(z)-f(\zeta)|^2}{|z-\zeta|^{1+2s}} d\sigma(z)d\sigma(\zeta)<+\infty.$$ 当 $\Gamma$ 为单位圆时，这两个空间与通过傅里叶级数定义的齐次分数 Sobolev 空间一致。对于一般可测曲线，这两个空间不一定相等，我们的第一个目标是研究相等的情形：在经典情形 $s=1/2$ 时，弦弦性是相等的必要充要条件，但对于一般 $s\in(0,1)$ 条件不再成立。我们证明了相等性对 Lipschitz 曲线成立。第二个目标涉及 Plemelj-Calderón 问题。