准圆上的分数Besov-Sobolev空间

设 $\Gamma$ 为有界Jordan曲线，其两个互补组成部分为 $\Omega_i,\Omega_e$。对于 $p\in (1, \infty),\,s\in(0,1)$，我们定义两个空间 $\mathcal{B}_{p,p}^s(\Omega_{i,e})$ 为调和函数 $u$ 的集合，分别位于 $\Omega_i$ 和 $\Omega_e$ 中，满足 $$\iint_{\Omega_{i,e}} |\nabla u(z)|^p d(z,\Gamma)^{(1-s)p-1} dxdy<+\infty.$$ 当可以将这些空间识别为边界上函数的空间（迹空间）时，我们关注它们的等式问题。当 $\Gamma$ 为单位圆时，这两个空间与齐次分数Besov-Sobolev空间一致，准圆的框架似乎是一种合适的推广。在此框架下，我们研究了Plemelj-Calderón算子的有界性，并将结果应用于表明对于某些 $p,s$ 值，如果这两个空间相等，则它们是某些加权Sobolev空间的限制。若进一步假设 $\Gamma$ 为可测曲线，则定义 $B_{p,p}^s(\Gamma)$ 为满足 $$\iint_{\Gamma\times \Gamma}\frac{|f(z)-f(\zeta)|^p}{|z-\zeta|^{1+ps}} |dz||d\zeta|+\infty.$$ 这些空间同样与单位圆上的齐次分数Besov-Sobolev空间一致。当 $s=1/p,\, p\ge 2$ 时，chord-arc性质是 $\mathcal{B}_{p,p}^s(\Omega_{i})=\mathcal{B}_{p,p}^s(\Omega_{e})=B_{p,p}^s(\Gamma)$ 等式的必要充分条件，但对于一般的 $s\in (0,1)$ 则不再如此。然而，我们表明对于径向-Lipschitz曲线，等式仍然成立。最后，我们将一些结果重新解释为马兹亚 spirit 中的某种“近似”Dirichlet原理。