曲线上类柯西核的对称化

给定具有特定正则性的曲线 $\Gamma\subset \mathbb C$，我们研究某一类柯西样核 $K_{\Gamma}$ 的三点对称化的有界性与正性，该核的定义由 $\Gamma$ 所围区域的几何与复变函数论所决定。我们的结果表明，$\mathtt S[\text{Re} K_{\Gamma}]$ 与 $\mathtt S[\text{Im} K_{\Gamma}]$（即 $K_{\Gamma}$ 实部与虚部的对称化）的行为与文献中先前研究的柯西核的对应量极为不同。例如，量 $\mathtt S[\text{Re} K_{\Gamma}](\mathbf z)$ 与 $\mathtt S[\text{Im} K_{\Gamma}](\mathbf z)$ 可分别表现为 $\frac32c^2(\mathbf z)$ 与 $-\frac12c^2(\mathbf z)$，其中 $\mathbf z$ 是 $\Gamma$ 中任意三点组，$c(\mathbf z)$ 为 $\mathbf z$ 的门格尔曲率。对于原始柯西核，M. Melnikov 的一个标志性结果给出：对所有 $\mathbb C$ 中的三点组，实部与虚部的对称化形式均等于 $\frac12c^2(\mathbf z)$。