关于 Hayman-Wu 定理的一个注记

Hayman-Wu 定理指出，在从单位圆盘到单连通域 U 的共形映射下，直线或圆 L 的原像的总欧几里得长度由一个绝对常数界定。得益于 Øyma 和 Rohde 的工作，已知最佳可能常数位于区间 [$\pi^2$, $4\pi$) 内。此前，Brown Flinn 证明了在 U 包含 L 的特殊情况下，总长度至多为 $\pi^2$。设 r 为逐点固定 L 的反 Möbius 映射。在本注记中，我们将 sharp 界 $\pi^2$ 推广到 U 与 r(U) 的交集的每个连通分量均由 U 的一段弧及其在 r 下的像所界定的情况。我们还通过将欧几里得长度替换为限制在单位圆盘上的严格更大的球面长度，略微加强了这些界。