C^2 中的真全纯圆盘

在本文中我们研究从单位圆盘 U={|z|<1} 到 C^2 的真全纯映射 f 的整体性质。U 是超越的这一事实对像 f(U) 施加了某些限制。例如，f(U) 不能包含于 C^2 的任何真复锥中，因为这将迫使它为代数的。另一方面，我们证明 C^2 中以 R^2 为轴的实锥包含从 U 到 C^2 的真全纯映射 f 的像，当且仅当该锥的角大于 π/2。我们还构造了如上所述的映射 f，其像避开 C^2 中的两个坐标轴对称。等价地，我们构造了 U 上的一对正调和函数 u, v，使得当 z 趋于 U 的边界时 max{u(z),v(z)} 趋于正无穷。此外我们证明从 U 到 C^2 的真全纯映射的分量 f_1, f_2，以及 f_1 与 f_2 的多项式与某些有理函数，具有这样的性质：它们在 U 的任意边界点处的基本值域至多遗漏 C 中的一个极集。