单值映射下曲线的长度失真

设 $f$ 为定义在复平面单位盘 $\D$ 上的共形 (解析且单值) 映射，且连续定义在半圆 $\partial \D^{+}=\{z\in\IC:|z|=1, \mathrm{Im}\,z>0\}$ 上。在 Gehring 和 Hayman 证明 $f$ 将水平直径 $(-1,1)$ 的像长度与其将 $\partial \D^{+}$ 的像长度之比具有均匀上界之后，本文首先通过为 $f$ 在 $\D$ 中引入一个简单极点，并考虑将垂直直径 $I=\{z: \mathrm{Re}\,z=0; ~| \mathrm{Im}\,z|<1\}$ 的像长度与半圆 $C'=\{z: |z|=1;~ \mathrm{Re}\,z<0\}$ 的像长度之比来推广此结果。最后，我们进一步通过将垂直直径 $I$ 替换为关于实轴对称的双曲线测地线，并将 $C'$ 替换为通过点 $-1$ 的单位圆相应弧来进一步推广此结果。