亚纯单叶映射的Gehring-Hayman不等式

设$f$为单位圆盘上的亚纯单叶函数，在$p\in(0,1)$处有一个简单极点，并连续延拓到单位圆的左半部分$\mathbb{T}^{-}$。本文证明了在映射$f$下，单位圆盘的垂直直径$\mathbb{I}_A$的像的长度与$\mathbb{T}^{-}$的像的长度之比被一个仅依赖于$p$的常数所界。接下来，我们通过考虑$\mathbb{D}$中共享相同端点的任意双曲测地线和任意Jordan曲线来推广此结果。这些结果将经典的Gehring-Hayman不等式推广到亚纯单叶函数，并证明了Bhowmik和Maity提出的猜想[Bull. Sci. Math. \textbf{199} (2025), \# 103583]。