一维线性对流问题 guaranteed 且稳健的 $L_2$ 范数后验误差估计
数值分析
2019-04-24 v1
摘要
我们针对一维空间中的线性对流问题提出一种基于重构的后验误差估计。在我们的框架中，采用稳定的变分超弱形式，并建立了误差的 范数与残差的双重图范数之间的等价性。在残差与分片仿射帽函数正交的条件下，该双重范数可局部化到计算域上基于顶点的面片子域。我们表明该条件对包括连续/不连续 Petrov–Galerkin 与间断 Galerkin 方法在内的若干知名数值方法成立。由此，确定了每个面片上适定的局部问题，从而得到离散解的全局协调重构。我们证明该重构给出了 误差的 guaranteed 上界。此外，至多差一个常数，它还给出 误差的局部下界，其中该通用常数被证明与网格加密、逼近的多项式次数以及对流速度无关。这导致我们的估计在对流及多项式次数方面均具稳健性。上述所有性质在一系列数值实验中得到验证，并额外呈现出渐近精确性。受这些结果启发，我们最终提出将方法启发式推广至任意空间维度，通过在基于顶点的面片上求解局部最小二乘问题实现。虽不再 guaranteed，所得误差指示子对一系列含间断解的二维测试用例而言，在数值上对对流速度与多项式次数均稳健。
引用
@article{arxiv.1904.10435,
title = {Guaranteed and robust $L_2$-norm a posteriori error estimates for 1D linear advection problems},
author = {Alexandre Ern and Martin Vohralík and Mohammad Zakerzadeh},
journal= {arXiv preprint arXiv:1904.10435},
year = {2019}
}