Kac-Moody 代数中沿虚根串的根重数增长

设$\mathfrak{g}$为一个可对称化 Kac-Moody 代数。给定$\mathfrak{g}$的一个根$\alpha$和一个实根$\beta$，已知穿过$\alpha$的$\beta$-串（记为$R_\alpha(\beta)$）是有限的。给定一个虚根$\beta$，我们证明$R_\alpha(\beta)=\{\beta\}$或$R_\alpha(\beta)$是无限的。若$(\beta,\beta)<0$，我们还证明当$n\to\infty$时，根${\alpha+n\beta}$的重数至少呈指数增长。若$(\beta,\beta)=(\alpha, \beta) = 0$，我们证明$R_\alpha(\beta)$是双向无限的，且$\alpha+n\beta$的重数是有界的。若$(\beta,\beta)=0$且$(\alpha, \beta) \neq 0$，我们证明$R_\alpha(\beta)$是半无限的，且$\alpha+n\beta$或$\alpha-n\beta$的重数随$n\to\infty$的增长速度快于任何多项式。我们还证明了只要$\alpha \neq \beta$且$(\alpha, \beta)<0$，就有$\dim \mathfrak{g}_{\alpha+\beta} \geq \dim \mathfrak{g}_\alpha + \dim \mathfrak{g}_\beta -1$。