大字母表上无幂语言的生长下界

我们研究某些无幂语言的生长率。对于任意整数 $k$ 和实数 $\beta>1$，令 $\alpha(k,\beta)$ 为字母表 $\{1,2,\ldots, k\}$ 上给定长度的 $\beta$-自由词的数量的生长率。Shur 研究了当 $k$ 趋于无穷时 $\beta\ge2$ 情形下 $\alpha(k,\beta)$ 的渐近行为。他提出了一个关于当 $1<\beta<2$ 时 $k$ 趋于无穷 $\alpha(k,\beta)$ 渐近行为的猜想。他证明了对于 $\frac{9}{8}\le\beta<2$，其猜想的渐近上界成立。我们证明了其猜想的渐近下界成立。这意味着该猜想在 $\frac{9}{8}\le\beta<2$ 时为真。