关于代数整数幂的 $\beta$-进制展开中遗漏一位数字的问题

设 $\alpha, \beta$ 为数域 $K$ 中的两个互素代数整数，$N$ 为正整数。我们证明，在 $\{1,2,\dots,N\}$ 中，使得 $\alpha^n$ 的 $\beta$-进制展开遗漏某个给定位数字的 $n$ 的个数小于 $C_1 N^{\sigma(\beta)}$，其中 $\sigma(\beta):=\frac{\log(|N(\beta)|-1)}{\log|N(\beta)|}$，$C_1$ 为绝对常数，前提是 $\beta$ 的所有素理想因子均非分歧，且其范数为整数素数。