小字母表上的循环重复阈值：Gorbunova猜想的最后情形

如果一个词没有指数大于或等于$\beta$的因子，则称其为$\beta$-free的。重复阈值$\mathrm{RT}(k)$是所有满足存在任意长$k$元$\beta$-free词的$\beta$集合的下确界（等价地，存在任意足够大长度的$k$元$\beta$-free词，甚至任意长度的$k$元$\beta$-free词）。重复阈值的这三个等价定义引出了循环词重复阈值的三个自然定义。所有满足以下条件的$\beta$集合的下确界：- 存在任意长$k$元$\beta$-free循环词，称为弱循环重复阈值，记为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{W}}(k)$；- 存在任意足够大长度的$k$元$\beta$-free循环词，称为中间循环重复阈值，记为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{I}}(k)$；- 存在任意长度的$k$元$\beta$-free循环词，称为强循环重复阈值，记为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(k)$。我们证明了$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(4)=\tfrac{3}{2}$和$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(5)=\tfrac{4}{3}$，证实了Gorbunova的一个猜想，并给出了强循环重复阈值的最后未知值。我们还证明了$\mathrm{CRT}_{\mathrm{I}}(3)=\mathrm{CRT}_{\mathrm{W}}(3)=\mathrm{RT}(3)=\tfrac{7}{4}$。