多算子代数簇中的增长与 operad 中的 Groebner 基

我们讨论多线性代数簇（或等价地，代数 operad 的分量维数序列）的余维数序列增长的算法方法。此类序列的（指数）生成函数称为簇的余维数级数，或 operad 的生成级数。我们证明，一般而言，不存在算法能判定由给定有限运算和恒等式集合定义的簇的余维数序列的增长指数是否等于给定有理数。特别地，我们通过证明具有有界生成元数量的二元二次 operad 的集合生成级数是无限的，负面地解决了 Bremner 和 Dotsenko 近期的一个猜想。随后我们回顾在许多情况下以定义代数或微分方程形式计算余维数级数的算法。对于更一般的簇类，这些算法给出余维数关于生成函数的上界和下界以及余维数增长的渐近界。上界（基于 Golod--Shafarevich 定理的 operadic 版本）只是一个满足由簇的生成元和恒等式有效定义的代数方程的形式幂级数。下界算法的第一阶段是构造 operad 的 Groebner 基。如果 Groebner 基恰好有限且满足温和限制，作者与 Anton Khoroshkin 近期的一个定理保证所求生成函数要么是代数的要么是微分代数的。我们描述产生此类方程的算法。在无限 Groebner 基的情况下，将这些算法应用于其有限子集可给出余维数序列生成函数的下界。