Golod-Shafarevich 型定理与势代数

势代数出现在极小模型纲领与非交换奇点消解中，其重要情形为有限维或线性增长。我们发展了涉及 Gr"obner 基理论及势代数的广义 Golod-Shafarevich 型定理的技术，以根据势确定有限性条件。我们考虑双生成势代数。利用 Gr"obner 基技术并就相关的截断代数进行论证，我们证明其维数不能小于 $8$。这回答了 Wemyss \cite{Wemyss} 的一个问题，该问题关联于 Toda \cite{T} 的几何论证。由改进的 Golod-Shafarevich 定理我们推得，若势仅含 5 次及以上项，则势代数无限维。我们证明，对任意次数 $n\geq 3$ 的齐次势，其势代数均无限维。证明包含对全部 3 次势的分类。随后我们引入某种 Koszul 复形，并证明在具有齐次次数 $n+1\geq 4$ 的势的势代数类 ${\cal P}_n$ 中，极小 Hilbert 级数为 $H_n=\frac{1}{1-2t+2t^n-t^{n+1}}$，故它们皆无限维。此外，对 4 次势增长可为多项式（但非线性），而对 5 次及以上势增长恒为指数型。对一类特定势，我们证明了 Wemyss 的一个猜想，该猜想将势代数与其交换化代数维数之差同 Gopakumar-Vafa 不变量相联系。