线性增长代数与动力学 Mordell-Lang 猜想

Ufnarovski 于 1990 年指出，目前尚不清楚任何具有线性增长的有限展示结合代数是否为自动机，即该代数中正规词的集合是否构成正则语言。若该代数是分次的，则 Ufnarovski 问题的肯定回答可推出该代数 Hilbert 级数的有理性。假设基域具有正特征，我们证明 Ufnarovski 问题的回答为肯定当且仅当基域是其素子域的代数扩张。此外，在“仅当”部分，我们证明存在一个具有线性增长且 Hilbert 级数无理的有限展示分次代数。另外，在任意无限基域上，具有 $5$ 个生成元的线性增长二次代数的 Hilbert 级数集合是无限的。我们的方法基于与动力学 Mordell-Lang 猜想的联系。该猜想描述了代数簇自同态轨道与子簇的交集。我们证明，Ufnarovski 问题的肯定回答蕴含了动力学 Mordell-Lang 猜想的某些已知情形。特别地，对于一类代数的肯定回答等价于 Skolem-Mahler-Lech 定理，该定理指出在零特征域上任何线性递归序列的零元素集合是若干算术级数的有限并集。特别地，在有限特征情形下该定理的反例给出了具有无理 Hilbert 级数的代数实例。