半线性椭圆方程的基态

我们研究 $\Delta u - F'(u)=0$ 的解，其中势函数 $F$ 可以在任意高度具有任意数量的势阱，包括具有亚临界衰减的无底势阱。在我们的设定中，基态解对应于最小能量的不稳定解。我们证明，在 $\mathbb{R}^N$ 的凸区域和满足 $\operatorname{Ric}\geq 0$ 的流形上，基态总是山路型且 Morse 指数为 1。此外，我们证明了当区域是欧氏球或整个球面 $S^{N}$ 时基态的对称性。对于 $S^{N}$ 上的 Allen-Cahn 方程 $\varepsilon^2\Delta u - W'(u)=0$，我们证明基态在旋转意义下是唯一的，并对应于作为极小超曲面的赤道。我们还研究了当 $\varepsilon\to 0$ 时在基态能量水平处的分岔，证明了 $S^{N}$ 的前 $N+1$ 个极小-极大 Allen-Cahn 宽度是基态，并证明了相应的第 $(N+2)$ 个极小-极大解的间隙定理。