高阶 KdV 型流的整体适定性与非挤压性质

本文证明了周期高阶 KdV 型方程 $$\left\{\begin{array}{ll} \partial_t u + (-1)^{j+1} \partial_x^{2j+1}u + \frac12 \partial_x(u^2)=0, \hspace{1em} &(t,x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{T}, \\ u(0,x) = u_0(x), &u_0 \in H^s(\mathbb{T}). \end{array} \right.$$ 在 $H^s$ 中对于 $s \ge -\frac{j}{2}$, $j \ge 3$ 整体适定。全局适定性的证明基于 Colliander 等人引入的“I-method”\cite{CKSTT1}。为了应用“I-method”，我们采用不同于 Hirayama \cite{Hirayama} 的方式对共振函数进行因式分解。此外，我们还证明了周期高阶 KdV 型方程的非挤压性质。证明依赖于 Gromov 有限维哈密顿系统的非挤压定理以及解流的逼近。更精确地，在对解流进行频率截断后，我们应用非挤压定理，然后将结果转移到无限维原始流。这一论证由 Kuksin \cite{Kuksin:1995ue} 引入，并由 Bourgain \cite{Bourgain:1994tr} 对一维三次 NLS 流以及 Colliander 等人对 KdV 流具体实现 \cite{CKSTT3}。我们的一个观察是，高阶 KdV 型方程比 KdV 方程具有更好的来自非共振相互作用的调制效应。因此，与 Colliander 等人的工作 \cite{CKSTT3} 不同，我们可以在没有 Miura 变换的情况下得到解流的非挤压性质。