$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 空间上的吉布斯态与吉布斯规范

我们致力于研究格点 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 上的吉布斯概率与平衡概率。考虑定义于非紧集 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 上的单边全移位，以及从 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 到 $\mathbb{R}$ 的 $\alpha$-Hölder 连续势函数 $A$。从一类合适的先验概率测度 $\nu$（在 $\mathbb{R}$ 的 Borel 集上）出发，我们定义与 $A$ 相关的 Ruelle 算子（利用该算子到紧集 $\overline{\mathbb{R}}^\mathbb{N}=(S^1)^\mathbb{N}$ 的适当推广），并证明存在与 $A$ 相关的特征函数、共形概率测度和平衡态。我们还能够证明热力学形式化（Thermodynamic Formalism）对于这两类概率测度的若干著名经典性质。上述结果可视为紧情形下 XY 模型所得结果的推广。我们还引入了熵定义的推广，并证明了 $A$-极大测度（通过 $A$ 的基态）的存在性；在一些温和假设下我们证明了零温极限的存在性。此外，我们证明了 $A$ 的对合核的存在性（这需要考虑 $\mathbb{R}^{\mathbb{Z}}$ 上的双边全移位）。最后，我们在 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 上构建了 Borel 集的吉布斯规范，并证明该概率测度族满足一个 \emph{FKG}-不等式。