Hexponential 函数的几何与超越性

模群 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})$ 作用于上半平面 $\mathbb{HP}$，其商空间为模轨形，由函数 $\mathfrak{j} \colon \mathbb{HP}\to \mathbb{C}$ uniformize。我们首先证明，二阶导子群 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})''$ 对应于模轨形的一个 $\mathbb{Z}^2\rtimes \mathbb{Z}/6$ Galois 覆盖，该覆盖由一个六 punctured 平面构成，并由 hexponential 映射 $\operatorname{hexp} \colon \mathbb{HP} \to \mathbb{C} \setminus (\omega_0\mathbb{Z}[j])$ uniformize，其中 $\operatorname{hexp}$ 是 $C\eta^4$ 的原函数，$\omega_0\in i\mathbb{R}$ 和 $C\in \mathbb{R}$ 为显式常数，$\eta$ 为 Dedekind eta 函数。我们描述了尖点紧化 $\partial \operatorname{hexp}\colon \mathbb{QP}^1\to \omega_0 \mathbb{Z}[j]$ 的值。在定义径向紧化 $\operatorname{Shexp} \colon \mathscr{R} \to \mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z})$ 之后，我们构造了一个简单截面 $\operatorname{InSh} \colon \mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z}) \to \mathscr{S} \bmod{\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})'}$，其中 $\mathscr{S} \subset \mathbb{RP}^1$ 是一组数，其连分数展开源于 Sturmian 序列，该集合包含 Markov 二次无理数集 $\mathscr{M}$，这些数源于周期性 Sturmian 序列。我们将证明 $\operatorname{InSh}$ 的值要么是 Markov 二次无理数，要么是超越数。最后，我们给出了 $\operatorname{hexp}$ 的连分数展开，并讨论了其单值性。