半整数与整数权 Hilbert 模尖形式的估计

设 $\Gamma$ 为 $\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{R})^{n}$ 的余紧、离散且不可约子群。设 $\nu$ 为 $\Gamma$ 的酉特征。对于 $k\in1\slash 2\,\mathbb{Z}$，设 $\sknu$ 表示关于 $\Gamma$ 的权为 $\tk=\k$ 且 nebentypus 为 $\nu^{2k}$ 的尖形式复向量空间。我们假设 $\omega_{X,\nu}$ 存在，即 $X$ 上权为 $\tilde{1\slash 2}:=(1\slash 2,\ldots,1\slash2)$ 且 nebentypus 为 $\nu$ 的尖形式线丛存在。设 $\lbrace f_{1},\ldots,f_{j_{\tk}} \rbrace$ 表示 $\sknu$ 的标准正交基。在本文中，我们证明当 $k\rightarrow \infty$ 时，和 $\sum_{i=1}^{j_{\tk}}y^{k}|f_{i}(z)|^{2}$ 被 $O(k^{n})$ 界限，其中隐含常数与 $\Gamma$ 无关。此外，我们将这些结果推广到 $k\in2\mathbb{Z}$ 的情况，以及 $\Gamma$ 与 Hilbert 模群 $\Gamma_{K}:=\mathrm{PSL}_{2}(O_{K})$ 可交换的情况（其中 $K$ 为次数 $n\geq 2$ 的全实数域，$\mathcal{O}_{K}$ 为 $K$ 的整数环），并推广到 adelic 模形式的情况。