关于 $\mathrm{SU}(n,1)$ 上的自守形式估计

对于 $n\geq 2$，设 $\Gamma\subset \mathrm{SU}((n,1),\mathcal{O}_{K})$ 为一个无 torsion、指数有限的子群，其中 $\mathcal{O}_K$ 表示次数为 2 的完全虚数域 $K$ 的整数环。设 $mathbb{B}^n$ 为带有双曲度度量的 $n$ 维复球，设 $X_{\Gamma}:=\Gamma\backslash mathbb{B}^n$ 为商空间。进一步地，设 $mu_{\mathrm{hyp}}^{\mathrm{vol}}$ 为双曲度度量关联的体积形式。设 $Lambda:=Omega_{\overline{X}_{\Gamma}}^{n}$ 为线丛，其中 $overline{X}_{\Gamma}:=X_{\Gamma}\cup\{ \infty \}$。对于任意 $k\geq 1$，设 $lambda^{k}:=Lambda^{\otimes k}\otimes O_{\overline{X}_{\Gamma}}((k-1)\infty)$。对于任意 $k\geq 1$，双曲度度量在 $H^{0}(\overline{X}_{\Gamma},lambda^{k})$ 上诱导出点级度量。对于任意 $k\geq 1$，设 $mathcal{B}_{X_{\Gamma}}^{\lambda^{k}}$ 为 $H^{0}(\overline{X}_{\Gamma},lambda^{k})$ 关联的 Bergman 核。然后，对于 $k\gg1$，文章的第一主要结果为：$$\sup_{z\in \overline{X}_{\Gamma}}\big|mathcal{B}_{X_{\Gamma}}^{\lambda^{k}}(z,z)\big|_{\mathrm{hyp}}=O_{X_{\Gamma}}(k^{n+1/2}).$$对于任意 $k\geq 1$，且 $z\in X_{\Gamma}$，设 $mu_{\mathrm{Ber},k}(z)$ 为线丛 $lambda^{k}$ 关联的 Bergman 度量，设 $mu_{\mathrm{ber},k}^{\mathrm{vol}}$ 为关联的体积形式。然后，对于 $k\gg1$，文章的第二主要结果为：$$\sup_{z\in \overline{X}_{\Gamma}}\bigg|frac{mu_{\mathrm{Ber},k}^{\mathrm{vol}}(z)}{mu_{\mathrm{hyp}}^{\mathrm{vol}}(z)}\bigg|=O_{X_{\Gamma}}(k^{2(n-1)(n+1)+n+3}).$$我们的 Bergman 度量估计完成了论述，也纠正了我们之前 arXiv:2305.11609 中关于 $n=1$ 的估计。