关于Siegel variety相关Bergman核的非对角估计

对于 $g\geq 2$，设 $\Gamma\subset\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{R})$ 为离散子群，可为准容聚集子或无无限循环元素的算术子群，设 $\mathbb{H}_{g}$ 为族仙上半空间。令 $X_{\Gamma}:=\Gamma\backslash\mathbb{H}_{g}$ 为商空间，为维数为 $g(g+1)/2$ 的复杂流形。令 $\Omega_{X_{\Gamma}}$ 为切纤维束，令 $\ell:=\mathrm{det}(\Omega_{X_{\Gamma}})$ 为 $\Omega_{X_{\Gamma}}$ 的行列式线束。对于任意 $Z,W\in X_{\Gamma}$，记 $d_{\mathrm{S}}(Z,W)$ 为 $Z$ 与 $W$ 在 $X_{\Gamma}$ 上的测地距离。对于任意 $k\geq 1$，记 $H^{0}(X_{\Gamma},\ell^{\otimes k})$ 为 $\ell^{\otimes k}$ 全球截面的复向量空间，记 $\|\cdot\|_{k}$ 为 $\ell^{\otimes k}$ 上的点范数。记 $\mathcal{B}_{X_{\Gamma}}^{\ell^{ k}}$ 为 $H^{0}_{L^{2}}(X_{\Gamma},\ell^{\otimes k})\subset H^{0}(X_{\Gamma},\ell^{\otimes k})$ 所对应的Bergman核，其中 $H^{0}_{L^{2}}(X_{\Gamma},\ell^{\otimes k})$ 为 $\ell^{\otimes k}$ 的 $L^2$ 全球截面向量子空间。对于任意 $k\gg 1$，以及 $Z,W\in X_{\Gamma}$，我们推导了当 $\Gamma$ 为准容子群和算术子群时，Bergman核 $\|\mathcal{B}_{X_{\Gamma}}^{\ell^{ k}}(Z,W)\|_{\ell^{k}}$ 的估计。