从能量意识视角看泰希米勒空间上的切空间

通常，对亏格 $g \geq 2$ 的紧黎曼曲面 $\Sigma_{g}$（可识别为上半平面 $\mathbb{H}^{2}$ 被 $\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$ 的离散余紧子群 $\Gamma_{g}$ 所除的商空间 $\mathbb{H}^{2} / \Gamma_{g}$）的泰希米勒空间 $\mathscr{T}(\Sigma_{g})$ 的切空间描述有两种不同形式：其一是 $\Sigma_{g}$ 上的全纯二次微分空间，即 $\Sigma_{g}$ 典范线丛的张量平方的全纯截面；其二是基本群 $\Gamma_{g}$ 以 $\mathbb{H}^{2}$（或 $\mathbb{D}$）上 Killing 向量场（亦即 $\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$ 的李代数）向量空间 $\mathfrak{g}$ 为系数的第一上同调群 $H^{1}(\Gamma_{g}; \mathfrak{g})$。本文关注利用上半平面 $\mathbb{H}^{2}$（等价地，$\mathbb{D}$ 上）的调和向量场概念来联系上述两种描述，该概念受紧双曲黎曼曲面间调和映射理论启发。作为一个应用，我们还展示了 $\mathbb{H}^{2}$（或 $\mathbb{D}$）上的调和向量场如何描述泛泰希米勒曲线上的联络。