关于二维环面双曲自同构的一致回复性

我们感兴趣的是研究如下形式的集合：$$\mathcal{U}(\alpha) := \left\{ x\in X: \ \exists M=M(x) \geq 1 \text{ 使得 } \forall N\geq M, \ \exists n\leq N \text{ 使得 } d(T^nx, x) \leq |\lambda|^{-\alpha N} \right\}$$ 其中$(X,T,d)$是我们的度量动力系统，且$|\lambda|>1$。尽管一维情形已有许多结果，但对于高维系统，尤其是双曲情形，已知结果并不多。我们考虑$X=\mathbb{T}^2$，$T(x) = Ax \pmod{1}$，其中$A$是双曲、保面积的$2\times 2$整数矩阵，$\lambda$是$A$模大于1的特征值，并显式计算了该集合的豪斯多夫维数。