黎曼曲面上的 Bergman 核与对称积上的 Kähler 度量

设 $X$ 为配备 Poincaré 度量的紧双曲黎曼曲面。对任意整数 $k\geq 2$，我们研究对应于全纯 Hermite 线丛 $\Omega^{\otimes k}_X$ 的 Bergman 核，其中 $\Omega$ 为 $X$ 的全纯余切丛。我们的第一个主要结果用 Poincaré 度量估计了 $X$ 上相应的 Bergman 度量。随后我们考虑 $X$ 的对称积到 Grassmann 流形的某种自然嵌入，该 Grassmann 流形参数化 $\Omega^{\otimes k}_X$ 的所有整体全纯截面空间中固定维数的子空间。Grassmann 流形上的 Fubini-Study 度量限制为 $X$ 的对称积上的 K"ahler 度量。该限制度量在对称积上的体积形式用 $\Omega^{\otimes k}_X$ 的 Bergman 核以及由 $X$ 上的 Poincaré 度量给出的对称积上轨道空间 K"ahler 形式的体积形式进行了估计。