Bergman 核的渐近行为

设 $( X ,d ,p )$ 为带点完备极化 K"ahler 流形序列 $( M_l ,\omega_l ,\mathcal{L}_l ,h_l ,p_l )$ 的带点 Gromov-Hausdorff 极限，满足 $Ric ( h_l ) =2\pi \omega_l$、$Ric ( \omega_l ) \geq -\Lambda \omega_l$ 且 $Vol \big( B_1 ( p_l ) \big) \geq v$，$\forall l\in\mathbb{N}$，其中 $\Lambda ,v>0$ 为常数。则 $X$ 为正规复空间 [Liu-Sz\'ekelyhidi, 2022, GAFA]。本文中，我们讨论 Hermitian 线丛 $( \mathcal{L}_l ,h_l )$ 与 Bergman 核的收敛性。特别地，我们证明 K"ahler 形式 $\omega_l$ 收敛于 $X_{reg}$ 上唯一闭正流 $\omega_X$。通过在 $X$ 上极限线丛建立一版 $L^2$ 估计，我们给出 $X$ 上 Fubini-Study 流的收敛结果。随后我们证明 Bergman 核的收敛性意味着在具有 Ricci 下界 $-\Lambda$ 与非塌缩条件 $Vol \big( B_1 (x) \big) \geq v >0$ 的 $n$ 维极化 K"ahler 流形族 $(M,\omega ,\mathcal{L},h)$ 上 Bergman 核的一致 $L^p$ 渐近展开。在附加正交双截面曲率下界下，我们还给出对所有充分大 $m$ 的 Bergman 核一致 $C^0$ 渐近估计，改进了 Jiang [Jiang, 2016, crelle] 的定理。通过计算 orbifold 上的 Bergman 核，我们反驳了 Donaldson-Sun 在 [Donaldson-Sun, 2014, Acta] 中的一个猜想。