基于冒泡分析的闭极小曲面的几何收敛结果

我们给出了 Buzano 与 Sharp 为闭极小曲面所发展的冒泡分析的一些全局性几何应用，在 Morse 指标的上界以及对亏格或面积的适当下界条件下获得了光滑重数一收敛结果。例如，我们证明了在三维球面上任意给定正数量曲率的黎曼度量，指标为一且亏格为 $\gamma$ 的嵌入极小曲面类对任意 $\gamma\geq 1$ 都是列紧的。此外，我们定量地描述了当一族极小曲面在有限多个可能发生曲率集中的点之外以重数 $m\geq 1$ 光滑收敛时，亏格是如何下降的。该结果利用了关于收敛重数相对于过程中出现的冒泡的端的数目的尖锐估计。