因果图的几何与谱性质

我们研究通过在每一层的连续顶点之间添加水平连接，从一个临界的、有限方差的 Galton-Watson 平面树获得的随机平面图。该随机图与 Ambj{\o}rn 和 Loll 引入并被物理学家广泛研究的著名因果动力学三角剖分密切相关。我们证明了图中的水平距离小于垂直距离，但仅差一个次多项式因子：第 $n$ 层顶点集的直径既是 $o(n)$ 又是 $n^{1-o(1)}$。这使我们能够证明该图的无穷版本的谱维数几乎必然等于 2，从而证明随机游走几乎必然是扩散的。我们还着手研究了后代分布是临界的且属于 $\alpha \in (1,2)$ 的 $\alpha$-稳定律吸引域的情况，对此我们的理解还远未完备。