通用幂和分解与 Waring 秩的界

文献中最近引入了一种与形式的通用幂和分解相关的开秩（open rank）概念。本文的主要结果是平面四次型的最大开秩为八。特别地，这给出了 $n,d$ 的第一个例子，使得本质上依赖于 $n$ 个变量的 $d$ 次形式的最大开秩严格大于最大秩。一方面，该结果改进了先前已知的开秩界，但另一方面也表明这些界可能相当宽松。尽管如此，一些预备结果具有独立意义，并且仍可能为寻找给定次数和变量数的所有形式集合的最大秩问题提供有用信息。例如，我们得到每个次数 $d\ge 3$ 的三元形式都可以被 $d-1$ 个两两独立的线性形式的乘积所零化。