由简单 Gram 谱多面体得到的唯一幂次型分解

我们考虑同时 Waring 分解：给定次数 $kd$ 的型 $f_d$（$d = 2,3$），其可表示为 $k$-型 $q_1,\ldots,q_m$ 的 $d$ 次幂和，何时可以从幂和 $f_d$ 重构出加项 $q_1,\ldots,q_m$？此类幂次型分解建模了混合中心高斯分布的矩问题。本文的新颖之处在于使用半定规划以归约到张量分解。所提方法在典型参数集上有效，至少当 $m\leq n-1$ 时成立，其中 $m$ 为分解的秩，$n$ 为变量个数。尽管可证明不紧，该分析仍给出了当前已知的用于分解三阶幂次型的最佳秩阈值，在渐近性与常数因子上均优于先前工作。我们的算法能为特定分解生成唯一性证明。我们对高斯随机无迹二次型进行了数值研究，给出证据表明只要 $m = n$ 且 $n\to \infty$，成功率在平均情形下收敛于 $1$。一些证据表明该算法在秩 $m = \Theta(n^2)$ 的实例上亦能成功。