线性形式幂之和的黑盒绝对重构

我们研究多元多项式分解为线性形式的幂之和的问题。针对以下问题给出随机算法：若齐次多项式 $f \in K[x_1 , . . . , x_n]$（其中 $K \subseteq \mathbb{C}$）次数为 $d$ 且以黑盒形式给出，判定其是否可写为线性无关复线性形式的 $d$ 次幂的线性组合。该算法的主要新颖之处在于：(1) 对于 $d = 3$，我们将 Koiran 与 Skomra 算法的运行时间改进了 $n$ 倍。不过，这一改进所付出的代价是该算法现在具有双侧错误。(2) 对于 $d > 3$，我们提供了该问题的首个随机黑盒算法，其在 $n$ 和 $d$ 上多项式时间运行（在仅允许算术运算与相等性测试的代数模型中）。该问题的先前算法以及现有大多数其他类别的重构算法都诉诸多项式因式分解子程序。这需要在单位代价下提取复多项式根，而在单位代价 RAM 或图灵机等标准模型中，此方法无法给出多项式时间算法。(3) 对于 $d > 3$，当 $f$ 具有有理系数时，黑盒算法的运行时间在 $n,d$ 以及 $f$ 任意系数的最大比特大小上均为多项式。这给出了该问题在 $\mathbb{C}$ 上首个在比特计算模型下具有多项式运行时间的算法。