非退化情形下低次多项式幂和的学习

我们开发了将多项式写为低次多项式幂和形式的算法。考虑一个 $n$ 变量 $d$ 次多项式 $f$，其可写为 $$f = c_1Q_1^{m} + \ldots + c_s Q_s^{m},$$ 其中每个 $c_i\in \mathbb{F}^{\times}$，$Q_i$ 为 $t$ 次齐次多项式，且 $t m = d$。本文给出一种 $\text{poly}((ns)^t)$ 时间的学习算法，在给定 $f$ 的黑盒访问下找出 $Q_i$，前提是 $Q_i$ 满足特定非退化条件且 $n$ 大于 $d^2$。退化的 $Q_i$ 集合（即算法失效的输入）构成非平凡簇，因此若 $Q_i$ 依任意合理（满维）分布选取，则它们以高概率为非退化的（若 $s$ 不太大）。我们的算法基于如下方案：在给定非退化条件成立时，从某算术电路模型的下界构造该模型的学习算法。该方案将学习问题归约为在一组线性算子作用下分解两个向量空间的问题，其中空间与算子源自输入电路及典型下界证明中所用的复杂度度量。非退化条件即对这些空间分解方式的某些限制。