广义Dyson布朗运动、McKean-Vlasov方程与随机矩阵的特征值

利用伊藤微积分和质量最优输运理论，我们研究了带有外势$V$的广义Dyson布朗运动(GDBM)及其相关的McKean-Vlasov演化方程。在$V$的适当条件下，我们证明了GDBM的随机微分方程强解的存在唯一性。标准论证表明，GDBM的经验测度过程$L_N(t)$族是紧的，并且$L_N(t)$在弱收敛拓扑下的每个聚点都是相关McKean-Vlasov演化方程的弱解，该方程可视为$\mathbb{R}$上Wasserstein空间中Voiculescu自由熵的梯度流。在条件$V''\geq -K$（其中$K\geq 0$为常数）下，我们证明McKean-Vlasov方程有唯一解$\mu(t)$，且当$N\rightarrow \infty$时$L_N(t)$弱收敛于$\mu(t)$。对于$C^2$凸势，我们证明当$t\rightarrow \infty$时，$\mu(t)$在$\mathscr{P}_2(\mathbb{R})$上关于$W_2$-Wasserstein距离收敛到平衡测度$\mu_V$。在$V$的一致凸性或修正的一致凸性条件下，我们证明当$t\rightarrow \infty$时，$\mu(t)$以指数速率在$\mathscr{P}_2(\mathbb{R})$上关于$W_2$-Wasserstein距离收敛到$\mu_V$。最后，我们讨论了双阱势并提出了一些猜想。