动力学 McKean-Vlasov 方程的良好可解性

我们考虑 McKean-Vlasov 方程 $dX_t = b(t, X_t, [X_t])dt + \sigma(t, X_t, [X_t])dW_t$，其中 $[X_t]$ 为 $X_t$ 的分布。我们特别考虑动力学情况，即方程在扩散项维数严格小于解 $X$ 的维数时呈退化，这在经典的碰撞动力学理论模型中常见。假设系数满足 H"older 连续性并满足弱 H"ormander 条件，我们证明了该方程的良好可解性。这一结果填补了现有文献中的关键空白：它处理了扩散系数 $\sigma$ 依赖于分布 $[X_t]$ 的情形，这此前尚未探索。值得注意的是，我们的证明采用简化且直接的方法，无需涉及关于测度参数导数的偏微分方程。关键要素是由相应 Fokker-Planck 算子诱导的亚黄 Riemann 度规结构。