非线性 Fokker-Planck 方程解向平衡的演化

本文证明了非退化非线性 Fokker-Planck 方程 $$u_t-\Delta\beta(u)+{\rm div}(D(x)b(u)u)=0, \ t\geq0, \ x\in\mathbb{R}^d,\qquad (1)$$ 的温和解(mild solutions)的 $H$-定理,并在对 $\beta$、$D$ 和 $b$ 的适当假设下,对于 $L^1$ 中一大类非负初值,证明了在 $L^1_\textrm{loc}(\mathbb{R}^d)$、$L^1(\mathbb{R}^d)$ 中分别存在某个 $t_n\to\infty$ 使得解 $u(t_n)$ 收敛到该方程的平衡态。这些结果在平均场理论相关的非线性 Fokker-Planck 方程文献中是新的,并且与随机微分方程理论也密切相关。事实上,由上述收敛结果可知,对应于 (1) 的 McKean-Vlasov 随机微分方程(一种非线性畸变布朗运动)以该平衡态为其唯一不变测度。关键词:Fokker-Planck 方程、$m$-增生算子、概率密度、Lyapunov 函数、$H$-定理、McKean-Vlasov 随机微分方程、非线性畸变布朗运动。2010 数学主题分类:35B40, 35Q84, 60H10。