非线性 Fokker–Planck 方程与广义 Ornstein–Uhlenbeck 过程的加权 $L^1$ 半群方法

对于非线性 Fokker–Planck 方程 $$\partial_tu = \Delta\beta(u)-\nabla \Phi \cdot \nabla \beta(u) - div_{\varrho}\big(D(x)b(u)u\big),\quad (t,x) \in (0,\infty)\times \mathbb{R}^d,$$ 其中 $\varrho = \exp(-\Phi)$ 为有限 Borel 测度的密度且 $\nabla \Phi$ 无界，我们通过加权空间 $L^1(\mathbb{R}^d,\mathbb{R};\varrho dx)$ 中的 Crandall–Liggett 半群方法构造了具有有界初值的温和解。借助叠加原理，我们将这些解提升为相应 McKean–Vlasov SDE 的弱解，该方程可视为广义非线性扰动 Ornstein–Uhlenbeck 过程的模型。最后，对这些解我们证明了 McKean 意义下的非线性 Markov 性质。