以测度为初值数据的非线性 Fokker-Planck 方程与 McKean-Vlasov 方程的解

本文证明了非线性 Fokker-Planck 方程（FPE）\n\begin{align*}\n&u_t-\Delta (\beta(u))+{\mathrm{ div}}(D(x)b(u)u)=0, \quad t\geq0,\ x\in\mathbb{R}^d,\ d\ne2, \\\n&u(0,\cdot)=u_0,\mbox{in }\mathbb{R}^d,\n\end{align*}\n的广义（温和）解的存在唯一性，其中 $u_0\in L^1(\mathbb{R}^d)$，$\beta\in C^2(\mathbb{R})$ 是非减函数，$b\in C^1$、有界、$b\ge0$，$D\in {L^\infty}(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$，${\rm div}\,D\in L^2(\mathbb{R}^d)+L^\infty(\mathbb{R}^d)$，且 ${({\rm div}\, D)^-}\in L^\infty(\mathbb{R}^d)$，若 $b$ 非常数则 $\beta$ 严格递增。此外，$t\to u(t,u_0)$ 是 $L^1(\mathbb{R}^d)$ 中的压缩半群，并保持 $\mathbb{R}^d$ 中概率密度函数集合不变。若 ${\rm div}\,D\ge0$、$\beta'(r)\ge a|r|^{\alpha-1}$ 且 $|\beta(r)|\le C r^\alpha$，$\alpha\ge1$，$d\ge3$，则 $|u(t)|_{L^\infty}\le Ct^{-\frac d{d+(\alpha-1)d}}\ |u_0|^{\frac2{2+(m-1)d}}$，$t>0$；且若 $D\in L^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$，则存在性可推广至初值数据 $u_0$ 属于 $\mathbb{R}^d$ 中有界测度空间 $\mathcal{M}_b$ 的情形。作为对任意初值律的推论，我们得到了一类系数对时间边缘律具有奇异依赖的 McKean-Vlasov SDE 的弱解。