固定时间下自由 Fokker-Planck 方程的统计反卷积
概率论
2020-06-23 v1 统计理论
统计理论
摘要
我们感兴趣于从给定时间 观测到的 Dyson Brownian 运动重构一个非线性偏微分方程(PDE)即 Fokker-Planck 方程的初始条件。Fokker-Planck 方程描述了静电排斥粒子系统的演化,并可视为适当重整化的 Dyson Brownian 运动的大粒子极限。Fokker-Planck 方程的解可写为初始条件与半圆分布的自由卷积。我们提出了一种通过从属函数方法进行自由反卷积得到的初始条件的非参数估计量。该统计估计量是新颖的,因为它涉及一个不动点方程的求解,以及由 Cauchy 分布进行的经典反卷积。这是由于在自由概率中,傅里叶变换的类似物是 R-变换,其与 Cauchy 变换相关。在过去的文献中,人们聚焦于线性 PDE(如热方程)初始条件的估计,但据我们所知,这是首次针对非线性 PDE 处理该问题。我们证明了估计量的收敛性并计算了积分均方误差,给出了与非参数反卷积方法已知的收敛速率相似的速率。最后,一项模拟研究说明了我们估计量的良好性能。
引用
@article{arxiv.2006.11899,
title = {Statistical deconvolution of the free Fokker-Planck equation at fixed time},
author = {Mylène Maïda and Tien Dat Nguyen and Thanh Mai Pham Ngoc and Vincent Rivoirard and Viet Chi Tran},
journal= {arXiv preprint arXiv:2006.11899},
year = {2020}
}