非对称 Fokker-Planck 方程的大时间行为
偏微分方程分析
2023-08-21 v2
摘要
我们考虑三类具有唯一稳态的线性非对称 Fokker-Planck 方程，并建立了解以显式（估计的）衰减速率指数收敛到稳态的结果。首先，hypocoercive（亚强制）Fokker-Planck 方程是退化抛物方程，使得研究解的大时间行为的熵方法必须被修改。我们回顾了近期一种修正的熵方法（适用于漂移项关于位置变量为线性的非对称 Fokker-Planck 方程）。其次，具有非二次势的动力学 Fokker-Planck 方程是另一类非对称 Fokker-Planck 方程。其漂移项关于位置变量是非线性的。在势的二阶导数有界的情况下，修正的熵方法可证明解指数收敛到稳态。在此修正熵方法的应用中，需要求解矩阵不等式的对称正定矩阵。我们确定了所有在修正熵方法中达到最优衰减率的此类矩阵。以此方式我们证明了先前结果的最优性。第三，我们讨论受卷积算子扰动的 Fokker-Planck 算子的谱性质。对于相应的 Fokker-Planck 方程，我们证明存在唯一的平稳解。随后，证明了所有解以一致速率指数收敛到该平稳解。
引用
@article{arxiv.1506.02470,
title = {Large-time behavior in non-symmetric Fokker-Planck equations},
author = {Franz Achleitner and Anton Arnold and Dominik Stürzer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1506.02470},
year = {2023}
}