Dyson 布朗运动的数值解及不变矩阵系综的采样方案

Dyson 布朗运动 (DBM) 描述了直线上$N$个点的随机演化，这些点受到外加势、库仑排斥以及每个点上相同且独立的布朗驱动力的作用。我们使用显式驯化 Euler 格式数值求解 Dyson 布朗运动，并对非二次势的平衡测度进行采样。库仑排斥过于奇异，使得随机微分方程 (SDE) 无法满足驯化 Euler 格式严格收敛证明的假设。尽管如此，在实践中观察到该格式在$O(1/N^2)$的时间步长下是稳定的，并以$O(1)$的速率常数指数级快速弛豫到平衡测度，且该速率常数与$N$无关。此外，这种收敛速率似乎随$N$的增加而提高，符合 Dyson 布朗运动局部统计量的$O(1/N)$弛豫规律。这使得我们可以利用 Dyson 布朗运动从不变系综中对$N\times N$厄米矩阵进行采样。使用朴素格式生成$M$个独立样本的计算成本为$O(MN^4)$，而使用快速多极子方法评估库仑相互作用时，成本为$O(MN^3\log N)$。