循环同调中广义 Arf 不变量与降幂运算

在本文中，我们考虑两种推广经典 Arf 不变量的构造。在第一种构造中，带对合环 R 上的 $\epsilon$-对称二次型被提升为形式幂级数环 $R[[T]]$ 上的 $\epsilon(1+T)$-对称二次型，其对合将 $T$ 映为 $\frac{-T}{1+T}$。该型的判别式可视为原型的经典 Arf 不变量 $\omega_1$，而其 Hasse-Witt 不变量导出一个“次级” Arf 不变量 $\omega_2$，它定义在 $\omega_1$ 的核上。第二种构造给出一个不变量 $\Upsilon$，它定义在底层对称型为标准型的二次型上。它取值于四元同调 $HQ_1(R)$ 的一个商，该商由 $HQ_1$ 上的自然运算定义。在交换环的情形下 $\Upsilon$ 与 $(\omega_1,\omega_2)$ 一致。不变量 $\Upsilon$ 适于计算。特别地，我们证明若 $R$ 为具两端群的 GF(2) 上的群环，则它是忠实的。