离散超循环中由功能偏移诱导的退化跨临界 Neimark-Sacker 分岔

在本文中，我们研究了时间离散交叉催化系统中的功能偏移影响。我们使用超循环模型，考虑其中一个物种从合作者转变为降解者。在此功能偏移引起的分岔处，一条不变曲线坍缩到一个点 $P$，同时两个不动点以跨临界方式与 $P$ 碰撞。包含 $P$ 的一条直线上的所有点在分岔时且仅在分岔时成为不动点。Hofbauer 与 Iooss~\cite{HofbauerIooss1984} 提出并证明了一个结果，为特殊退化情形下的 Neimark-Sacker 分岔（作者称之为“Hopf”）提供了充分条件。他们用它来证明当与系统时间离散性相关的参数趋于无穷而成为连续时间系统时模型不变曲线的存在性。此处我们研究控制功能偏移的分岔，并证明当合作参数趋于零从而接近向降解物种切换时不变曲线的存在性。该不变曲线存在于不同区域，且对应于这些作者所描述参数值集合的不同子集。为应用上述结果，我们将 Neimark-Sacker 分岔与跨临界分岔解耦。这通过初步的奇异坐标变换实现，该变换将所涉及的不动点置于固定位置，使它们彼此保持固定距离。最后，回到原始变量，我们可从数学上描述该分岔的细节。