从 Monge-Ampère方程到零温极限下的包络与测地射线

设 X 为装备了光滑（但不一定正定）(1,1) 型闭形式$\theta$的紧复流形。通过一个熟知的包络构造，该数据确定了一个典范的$\theta$-psh 函数$u$，该函数一般而言并非二次可微。我们引入了一族由正数$\beta$参数化的$u$的正则化，定义为 Aubin-Yau 型复 Monge-Ampère方程的光滑解。研究表明，当$\beta$趋于无穷大时，这些正则化在最强的 Hölder 意义下收敛于包络$u$。该结果也被推广到 nef 且大的上同调类情形。作为推论，获得了 [14] 中关于包络正则性结果的新 PDE 证明（然而，在非 nef 大类的情形下，这些结果弱于 [14] 中的结果）。给出了拟 psh 函数正则化问题以及 Kähler 度量空间闭包中测地射线的应用。正如简要解释的那样，该正则化过程具有统计力学动机，其中$\beta$表现为逆温度。这一观点还将正则化解释为超越 Bergman 度量。