球状自旋玻璃中的自由能景观

我们引入并分析了通过将球内任一点关联以在其周围薄球带上使用多个正交副本计算的自由能所定义的自由能景观。这使我们能够在严格证明并推广至一般球状模型的意义下，重新解释并拓展 Thouless-Anderson-Palmer (TAP) 方法的主要思想，该方法最初于 70 年代为 Sherrington-Kirkpatrick 模型引入。特别地，我们建立了自由能的 TAP 表示，其对任何能以适当意义被任意多次采样的重叠值都成立。我们称此类重叠为多可采样重叠。在我们的分析中，TAP 表示中哈密顿量的修正项作为某一依赖于重叠的球带上模型的自由能而出现。对于最大的多可采样重叠，它与物理学中的 Onsager 反应项一致。对于较小的多可采样重叠，我们得到的公式是新的。我们还推导了相应的临界点 TAP 方程。我们在不借助著名的 Parisi 公式或超度量性质的情况下证明了上述所有内容。我们证明 Parisi 测度支撑中的任何重叠值都是多可采样的。对于一般模型，我们进一步表明多可采样重叠的集合与 Talagrand 刻画 Parisi 测度时所出现的某一集合一致。纯态的超度量树可以自然方式嵌入球内部。对于此嵌入，我们表明树上的点一致地最大化我们所定义的自由能。由此我们得出结论：树上每一点的哈密顿量在同一半径的球面上近似极大，且树上的点近似求解临界点的 TAP 方程。