无界亏格的自由边界极小曲面

对于每个整数 $g\geq 1$，我们使用变分方法在单位 $3$-球 $B$ 中构造了具有对称群 $\mathbb{D}_{g+1}$ 的自由边界极小曲面 $\Sigma_g$。当 $g$ 较大时，$\Sigma_g$ 具有三个边界分支且亏格为 $g$。当 $g\rightarrow\infty$ 时，曲面 $\Sigma_g$ 作为 varifold 收敛于圆盘与临界悬链面的并集。这些例子是首批亏格大于 $1$ 的例子，其存在性曾由 Fraser-Schoen 猜想。我们还在 $B$ 中构造了几个分别具有立方体、正四面体和正十二面体对称群的新的自由边界极小曲面。最后，我们证明了与 Fraser-Schoen 的曲面同痕的自由边界极小曲面可以通过等变 min-max 方法变分地构造。我们还证明了 $B$ 中自由边界极小曲面的一个 $\epsilon$-正则性定理。