单位球中低余齐性自由边界极小曲面

我们研究单位球中低余齐性的自由边界极小曲面。对于每对满足 $m, n >1$ 且 $m+n\geq 8$ 的正整数 $(m,n)$，我们构造了一个在 $O(m)\times O(n)$ 下不变的自由边界极小曲面 $\Sigma_{m, n} \subset B^{m+n}$(1)。当 $m+n<8$ 时，所得方程的不稳定性使我们能找到无穷族这样的曲面 $\{\Sigma_{m,n, k}\}_{k\in \mathbb{N}}$。特别地，$\{\Sigma_{2, 2, k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ 是一族实心环面，当 $k$ 趋于无穷时收敛于 Clifford 环面上的锥。这些例子表明，Fraser 和 Li 关于自由边界极小曲面的光滑紧性定理一般不推广到更高维。对于每个 $n\geq 3$，我们证明存在唯一的 $SO(n)$-不变的非平面自由边界极小曲面（“悬链面”）$\Sigma_n \subset B^n(1)$。这些曲面推广了 Fraser 和 Schoen 所研究的 $B^3(1)$ 中的“临界悬链面”。