广义不确定关系下粒子路径的分形性质

我们在最近提出的量子几何“涂抹空间”模型中确定了粒子路径的 Hausdorff 维数 $D_{\rm H}$。该模型引入额外自由度以描述背景的量子态，并在不引入修正对易关系的情况下给出了广义不确定性原理（GUP）与扩展不确定性原理（EUP）。我们将结果与先前基于修正对易子的 GUP 模型中 Hausdorff 维数的研究进行比较，表明最小长度以不同方式进入相关公式。随后我们确定涂抹动量空间中粒子路径的 Hausdorff 维数 $\tilde{D}_{\rm H}$，并表明最小动量与最小长度对偶。对于足够粗粒化的路径，$D_{\rm H} = \tilde{D}_{\rm H} = 2$，如同正则量子力学中一样。然而，当分辨率逼近最小尺度时，两种表示下路径的维数出现差异，这与正则理论中的对应情形相反。GUP 引起的修正使 $D_{\rm H}$ 增大，而 EUP 引起的修正使 $\tilde{D}_{\rm H}$ 相对其正则值减小，极值情形对应 $D_{\rm H} = 3$、$\tilde{D}_{\rm H} = 1$。这些结果表明，GUP 与 EUP 以根本不同却互补的方式影响粒子路径的分形性质。